Question

3．綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師組織各學(xué)習(xí)小組同學(xué)動(dòng)手操作，大膽猜想并加以驗(yàn)證．
動(dòng)手操作：如圖，將長與寬的比是2：1的矩形紙片ABCD對折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，然后展開，得到折痕EF，BC邊上存在一點(diǎn)G，將角B沿GH折疊，點(diǎn)B落到AD邊上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)B在AB邊上；將角C沿GD折疊，點(diǎn)C恰好落到B′G上的點(diǎn)C′處，HG和DG分別交EF于點(diǎn)M和點(diǎn)N，B′G交EF于點(diǎn)O，連接B′M，B′N．
提出猜想：①“希望”小組猜想：HG⊥DG；
②“奮斗”小組猜想：B′N⊥DG；
③“創(chuàng)新”小組猜想：四邊形B′MGN是矩形．
獨(dú)立思考：
（1）請你驗(yàn)證上述學(xué)習(xí)小組猜想的三個(gè)結(jié)論；（寫出解答過程）
（2）假如你是該課堂的一名成員，請你在現(xiàn)有圖形中，找出一個(gè)和四邊形B′MGN面積相等的四邊形．（直接寫出其名稱，不必證明）

Answer 1

分析 （1）①由∠BGH=∠B′GH，∠DGC=∠DGB′即可證明；
②只要證明△B′DG是等腰三角形即可；
③只要證明OM=OB′=OG即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)即可得到答案．

解答 （1）解：∵∠BGH=∠B′GH，∠DGC=∠DGB′，
∴2∠B′GH+2∠DGB′=180°，
∴∠B′GH+∠DGB′=90°，
∴∠DGH=90°即HG⊥DG，故①正確，
∵AD∥BC，
∴∠B′DG=∠DGC=∠DGB′，
∴B′D=B′G
∵AD∥EF∥BC，
AE=EB，DF=FC，
∴DN=NG，B′O=OG，
∴B′N⊥DG，故②正確，
∵OM∥BG，
∴∠OMG=∠MGB=∠MGO，
∴MO=OG=OB′，
∴△B′MG是直角三角形，
∴∠B′MG=90°，
∵∠B′MG=∠B′NG=∠NGM=90°，
∴四邊形B′MGN是矩形，故③正確；
（2）結(jié)論：四邊形B′MND和四邊形B′MGN的面積相等．
理由：∵△B′DG是等腰三角形，DN=NG，
∴S_△B′ND=S_△B′NG，
∵S_△B′MG=S_△B′MN，
∴S_{四邊形B′MGN}=S_{四邊形B′MND}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定定理，掌握翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．