Question

13．韋達(dá)定理：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，閱讀下面應(yīng)用韋達(dá)定理的過(guò)程：
若一元二次方程-2x²+4x+1=0的兩根分別為x₁、x₂，求x_1²+x_2²的值．
解：該一元二次方程的△=b²-4ac=4²-4×（-2）×1=24＞0
由韋達(dá)定理可得，x₁+x₂=-$\frac{a}$=-$\frac{4}{-2}$=2，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{-2}$=-$\frac{1}{2}$
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=2²-2×（-$\frac{1}{2}$）
=5
然后解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)一元二次方程2x²+3x-1=0的兩根分別為x₁，x₂，不解方程，求x_1²+x₂²的值；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程（k-1）x²+（k²-1）x+（k-1）²=0的兩根分別為α，β，且α²+β²=4，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，再利用完全平方公式變形得到x_1²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)一元二次方程（k-1）x²+（k²-1）x+（k-1）²=0的兩根分別為α，β，求出兩根之積和兩根之和的關(guān)于k的表達(dá)式，再將α²+β²=4變形，將表達(dá)式代入變形后的等式，解方程即可．

解答 解：（1）∵一元二次方程的△=b²-4ac=3²-4×2×（-1）=17＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁•x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x_1²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$（-\frac{3}{2}）^{2}-2×（-\frac{1}{2}）$=$\frac{13}{4}$；

（2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：$α+β=\frac{{k}^{2}-1}{k-1}$=-k-1，αβ=$\frac{（k-1）^{2}}{k-1}$=k-1，
α²+β²=（（α+β）²-2αβ=（k+1）²-2（k-1）=k²+3
∴k²+3=4，
∴k=±1，
∵k-1≠0
∴k≠1，
∴k=-1，
將k=-1代入原方程：-2x²+4=0，
△=32＞0，
∴k=-1成立，
∴k的值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本題不僅考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，要注意，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題，首先要注意方程有根．