Question

16．如圖，已知平行四邊形OABC的三個頂點A、B、C在以O(shè)為圓心的半圓上，過點C作CD⊥AB，分別交AB、AO的延長線于點D、E，AE交半圓O于點F，連接CF．
（1）判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）①求證：CF=OC；
②若半圓O的半徑為12，求陰影部分的周長．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：DE是⊙O的切線．首先證明△ABO，△BCO都是等邊三角形，再證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問題；
（2）①只要證明△OCF是等邊三角形即可解決問題；
②求出EC、EF、弧長CF即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：DE是⊙O的切線．
理由：∵CD⊥AD，
∴∠D=90°，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AD平行OC，
∴∠D=∠OCE=90°，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．

（2）①連接BF．
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥AF，AB=OC，
∴∠AFB=∠CBF，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CF}$，
∴AB=CF，
∴CF=OC．

②在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12$\sqrt{3}$，
∵OF=12，
∴EF=12，
∴$\widehat{CF}$的長=$\frac{60π•12}{180}$=4π，
∴陰影部分的周長為4π+12+12$\sqrt{3}$．

點評 本題考查切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，證明三角形是等邊三角形是解題的突破點，屬于中考�？碱}型．