Question

16．如圖，正方形的邊長為1dm，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形．求這個(gè)正八邊形的邊長和面積．

Answer 1

分析 設(shè)正八邊形的邊長為x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出被剪掉的小直角三角形的直角邊，然后根據(jù)正方形的邊長列方程求出x的值，再求出被剪掉的小直角三角形的直角邊，最后根據(jù)正八邊形的面積等于正方形的面積減去四個(gè)小直角三角形的面積列式計(jì)算即可得解．

解答 解：設(shè)正八邊形的邊長為x，則被剪掉小直角三角形的直角邊為$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
由題意得，x+2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=1，
解得x=$\sqrt{2}$-1，
所以，小直角三角形的直角邊為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以，正八邊形的面積=1²-4×$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1-2×（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2．
答：這個(gè)正八邊形的邊長為$\sqrt{2}$-1，面積為2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，用正八邊形的邊長表示出等腰直角三角形的直角邊是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于根據(jù)正方形的邊長列出方程．