Question

15．若關(guān)于x的一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1．求a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，把一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1理解為拋物線y=x²+（a²-1）x+a-2與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在點(diǎn)（-1，0）的左邊，另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）的右邊，則利用函數(shù)圖象得a-2＜0；當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即1-a²+1+a-2＜0，當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即1+a²-1+a-2＜0，然后求出三個(gè)不等式的公共部分即可．

解答 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+（a²-1）x+a-2=0有一根大于1，一根小于-1，
∴拋物線y=x²+（a²-1）x+a-2與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在點(diǎn)（-1，0）的左邊，另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）的右邊，
∴a-2＜0，即a＜2，
∵拋物線開口向上，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y＜0，即1-a²+1+a-2＜0，解得a＜0或a＞1，
當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即1+a²-1+a-2＜0，解得-2＜a＜1，
∴-2＜a＜0．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程的問題．