Question

18．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B、C重合）
（1）如圖1，點(diǎn)P在線段BC上，作∠APQ=60°，PQ交AC于點(diǎn)Q，
①求證：△ABP∽△PCQ；
②若△APQ也與△PCQ相似，求此時(shí)AQ的長(zhǎng)；
（2）如圖2，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，作∠APQ=60°，PQ的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，是否存在點(diǎn)P，使△APD是等腰三角形？若存在，求出PC的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=60°，證明∠BAP=∠QPC，根據(jù)相似三角形的判定定理證明結(jié)論；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理證明△CAP∽△PAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BAP+∠APB=120°，
∠APB+∠QPC=120°，
∴∠BAP=∠QPC，
∴△ABP∽△PCQ；
②∵△APQ也與△PCQ相似，∠APQ=∠C=60°，
∴當(dāng)∠CPQ=∠PAC時(shí)，∠AQP=∠PQC=90°，
∴∠PAQ=30°，
∴AP⊥BC，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴AQ=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)∠CPQ=∠AQP時(shí)，
∵∠CPQ+∠PQC=120°，
而∠AQP+∠CQP=180°，
∴不合題意，
∴AQ=$\frac{3}{2}$；

（2）存在，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAP+∠APC=60°，
∵∠APQ=60°，
∴∠CAP+∠D=60°，
∴∠APC=∠D，
∴△CAP∽△PAD，
∴$\frac{AC}{AP}$=$\frac{PC}{PD}$，又AP=PD，
∴PC=AC=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．