Question

16．如圖，△ABC，分別以它的斜邊AB、直角邊AC向外作等邊三角形△ABE、等邊三角形△ACD，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）如圖1，求證：四邊形ADFE是平行四邊形．
（2）連接BD、CE交于點(diǎn)G，如圖2，找出圖中與BD相等的線段，并證明．
（3）求圖2中∠CGD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出等邊三角形，∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，根據(jù)AAS推出Rt△ABC≌Rt△AEF，根據(jù)全等得出EF=AC=AD，求出∠DAB=∠AFE，推出AD∥EF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠EBC=∠BFD=120°，由AF=BF=$\frac{1}{2}$AB=BC及DF=AE=BE可證得△EBC≌△DFB，即可得BD=CE；
（3）由△EBC≌△DFB推出∠BEC=∠BDF，求出∠EGD=120°，即可得出答案．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵△ACD、△ABE是等邊三角形，
∴∠DAC=∠BAE=∠FAE=60°，AB=AE，AC=AD，
∵EF⊥AB，即∠AFE=90°，
∴△AEF是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{∠AFE=∠ACB=90°}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AEF（AAS），
∴EF=AC=AD，
∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°，
∴∠DAB=∠AFE，
∴AD∥EF，
∴四邊形ADFE是平行四邊形；

（2）BD=CE，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，∠AEF=30°，
∴∠ADF=∠AEF=30°，
∵△ADC是等邊三角形，
∴∠DAC=60°，
∵∠CAB=30°，
∴∠DAF=60°+30°=90°，
∴∠BFD=∠DAF+∠ADF=120°，
∵△ABE是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∵∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∴∠EBC=60°+60°=120°，
∴∠EBC=∠BFD，
∵四邊形AEFD是平行四邊形，△ABE和△ADC是等邊三角形，
∴AE=BE=DF，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵AF=BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=BC，
在△EBC和△DFB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠DFB}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DFB（SAS），
∴BD=CE；

（3）∵△EBC≌△DFB，
∴∠BEC=∠BDF，
∴∠EGD=360°-∠EAD-∠ADF-∠BDF-∠AEF-∠CEF
=360°-∠EAD-∠ADF-∠BEC-∠AEF-∠CEF
=360°-∠EAD-∠ADF-∠AEF-∠BEF
=360°-（60°+30°+60°）-30°-30°-30°
=120°，
∴∠CGD=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．