Question

1．如圖，過(guò)F（0，-1）的直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）求b值；
（2）求x₁x₂的值；
（3）若線段AB的垂直平分線交y軸于N（0，n），求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（3）由（2）得，x₁+x₂=-$\frac{-k}{-\frac{1}{4}}$=-4k，求得x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2k，y_C=-2k•k-1=-2k²-1，根據(jù)CN⊥AB，得到k_CN=-$\frac{1}{k}$，求得直線y_CN=-$\frac{1}{k}$（x+2k）-2k²-1，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=kx+b過(guò)F（0，-1），
∴b=-1；
（2）∵b=-1，
∴直線的解析式為：y=kx-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$得-$\frac{1}{4}$x²-kx+1=0，
∴x₁x₂=$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=-4；
（3）由（2）得，x₁+x₂=-$\frac{-k}{-\frac{1}{4}}$=-4k，
∴x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-2k，y_C=-2k•k-1=-2k²-1，
∵CN⊥AB，
∴k_CN=-$\frac{1}{k}$，
∴y_CN=-$\frac{1}{k}$（x+2k）-2k²-1，
當(dāng)x=0時(shí)，n=-2-2k²-1=-2k²-3，
∵k≠0，
∴n＜-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．