Question

18．若拋物線y₁=a₁x²+b₁x+c₁與y₂=a₂x²+b₂x+c₂滿足$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{_{1}}{_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$=k（k≠0，1），則稱y₁和y₂互為“共軸拋物線”
（1）寫出一對“共軸拋物線”的解析式；
（2）拋物線y₁=a₁x²+b₁x+c₁的對稱軸是x=1，且經(jīng)過點(diǎn)（3，5），（0，8），若y₁與y₂互為“共軸拋物線”，y₁+y₂的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-9，求y₁、y₂的解析式；
（3）在（2）的條件下，直接寫出當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)y₁+y₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）認(rèn)真審題，首先根據(jù)定義任意寫出一對“共軸拋物線”即可；
（2）先根據(jù)題意求出a₁、b₁、c₁的值，再用含有k的代數(shù)式把函數(shù)y₂表示出來，進(jìn)而得解；
（3）將函數(shù)進(jìn)行配方，寫成頂點(diǎn)式，即可得解．

解答 解：（1）y=x²+x+1，y=2x²+2x+2；
（2）據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{_{1}}{{2a}_{1}}=1}\\{5{=9a}_{1}{+3b}_{1}{+c}_{1}}\\{8{=c}_{1}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-1}\\{_{1}=2}\\{{c}_{1}=8}\end{array}\right.$，
∴${y}_{1}={-x}^{2}+2x+8$，
設(shè)${y}_{2}=\frac{{-x}^{2}}{k}+\frac{2x}{k}+\frac{8}{k}$，
則：${y}_{1}+{y}_{2}=（-1-\frac{1}{k}）{x}^{2}+（2+\frac{2}{k}）x+（8+\frac{8}{k}）$
=$（-1-\frac{1}{k}）（x-1）^{2}+9+\frac{9}{k}$，
∴9+$\frac{9}{k}$=-9，
解得：k=$-\frac{1}{2}$，
∴${y}_{2}=2{x}^{2}-4x-16$；
（3）${y}_{1}+{y}_{2}={x}^{2}-2x-8$
=（x-1）²-9，
拋物線開口向上，對稱軸為直線x=1，
當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴在-3≤x≤-1范圍內(nèi)，當(dāng)x=-1時(shí)，y₁+y₂的最小值為-5．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的定義與性質(zhì)，以及學(xué)生的自學(xué)能力，理解共軸拋物線是解題的關(guān)鍵，注意總結(jié)．