Question

5．如圖，在△ABC中，AB=BC=10，tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，點P是邊BC上的一點，在線段AP上取點M，將線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PN．設(shè)BP=t．
（1）如圖1，當(dāng)點P在點B，點M是AP中點時，試求AN的長；
（2）如圖2，當(dāng)$\frac{PM}{MA}$=$\frac{1}{3}$時．
①求點N到BC邊的距離（用含t的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)點P從點B運動至點C時，試求點N運動路徑的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形中的勾股定理進(jìn)行解答即可；
（2）①分0≤t≤6和6≤t≤10兩種情況，利用相似三角形進(jìn)行解答；
②利用勾股定理進(jìn)行計算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABN=90°，AB=10，
∴BN=BM=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AN=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{5}$；
（2）①（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤6時（如圖1）

過點A作AE⊥BC于點E，過點N作NF⊥BC于點F．
∵∠AEP=∠PFN=90°，∠APF+∠FPN=90°，∠APF+∠PAE=90°，
∴∠PAE=∠FPN，
∴△APE～△PNF，
∵$\frac{PM}{MA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{PF}{AE}=\frac{FN}{PE}=\frac{PN}{AP}=\frac{1}{4}$，
∴DN=$\frac{1}{4}（6-t）=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}t$；
（Ⅱ）當(dāng)6≤t≤10時，
同理可得：DN=$\frac{1}{4}（t-6）=\frac{1}{4}t-\frac{3}{2}$；
②（如圖2）點N的運動路徑是一條線段，

當(dāng)P與O重合時，$FN=\frac{3}{2}$，PF=2，
當(dāng)P與C重合時，F(xiàn)′N′=1，PF′=2，
∴點N的路徑長$N{N}^{'}=\sqrt{1{0}^{2}+（1+\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{5}{2}\sqrt{17}$．

點評 此題考查幾何變換問題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行分析．