Question

15．如圖所示，AB=AC，AB為⊙O的直徑，AC、BC分別交⊙O于E、D，連接ED、BE．
（1）求證：△CDE∽△CAB；
（2）求證：DE=BD；
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可證出△CDE∽△CAB；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=∠CBA，證出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圓周角定理和三線合一性質(zhì)得出CD=BD，即可得出DE=BD；
（3）由割線定理求出CE，由圓周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根據(jù)勾股定理即可求出BE的長．

解答 （1）證明：連接AD，如圖所示：
∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠CED=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB；
（2）證明：∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA，
∴∠C=∠CED，
∴DE=CD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴CD=BD，
∴DE=BD；
（3）解：由割線定理得：CE•AC=CD•BC，
∵CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，AC=AB=5，
∴CE=$\frac{CD•BC}{AC}$=$\frac{3×6}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{18}{5}）^{2}}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、割線定理、勾股定理；本題有一定難度，特別是（2）（3）中，需要運(yùn)用圓周角定理、割線定理和勾股定理才能得出結(jié)果．