Question

18．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E、F分別是斜邊AB上的兩點(diǎn)，且∠FCE=45°．
（1）現(xiàn)將CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CD，連結(jié)AD．求證：AD=BF．
（2）若EF=10，BF=8．求AE的長(zhǎng)及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）證明△BCF≌△ACD，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；
（2）首先證明△ECF≌△ECD，則ED=EF，然后在直角△ADE中利用勾股定理求得AE的長(zhǎng)，則AB的長(zhǎng)即可求得，然后利用三角函數(shù)求得AC和BC的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式求解．

解答 （1）證明：在△BCF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACD，
∴AD=BF，∠CAD=∠CBA=45°．
（2）解：∵在△ECF和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=EC}\\{∠ECF=∠ECD}\\{CF=CD}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△ECD，
∴ED=EF，
則在Rt△DAE中，由勾股定理可得：AE=$\sqrt{D{E}^{2}-A{D}^{2}}$=6，
∴AB=24，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=BC=12$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC²=288．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵．