Question

17．已知關于x的一元二次方程x²-4x-m²=0
（1）求證：該方程有兩個不等的實根；
（2）若該方程的兩實根x₁、x₂滿足x₁+2x₂=9，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=16+4m²＞0，由此可證出該方程有兩個不等的實根；
（2）根據根與系數的關系可得x₁+x₂=4①、x₁•x₂=-m²②，結合x₁+2x₂=9③，可求出x₁、x₂的值，將其代入②中即可求出m的值．

解答 （1）證明：∵在方程x²-4x-m²=0中，△=（-4）²-4×1×（-m²）=16+4m²＞0，
∴該方程有兩個不等的實根；

（2）解：∵該方程的兩個實數根分別為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4①，x₁•x₂=-m²②．
∵x₁+2x₂=9③，
∴聯立①③解之，得：x₁=-1，x₂=5，
∴x₁•x₂=-5=-m²，
解得：m=±$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解題的關鍵是：（1）牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根”；（2）聯立x₁+x₂=4①、x₁+2x₂=9③，求出x₁、x₂的值．