Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²-4ax（a≠0）的對稱軸交拋物線于A點(diǎn)，交x軸于C點(diǎn)，且AC=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線y=ax²-4ax（a≠0）上一點(diǎn)，若點(diǎn)Q（m，-m-2）是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，PQ⊥AO，當(dāng)PQ=7$\sqrt{2}$時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作x軸的垂線PD交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E為x軸上方對稱軸右側(cè)拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AE交PD于點(diǎn)F，若∠CAE=2∠PEF時(shí)，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對稱軸方程，然后依據(jù)AC=OC可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得a的值；
（2）先求得點(diǎn)Q所在直線的解析式，然后證明OA∥點(diǎn)Q所在的直線，過點(diǎn)P作PD∥x軸，先證明△PQD為等腰直角三角形，然后可求得DP的長，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t），可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后依據(jù)DP=14列方程求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t）．然后求得直線AE的解析式，然后再求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，接下來，證明PF=EF，然后依據(jù)PF=EF列出關(guān)于t的方程可求得t的值，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得AF的值．

解答 解：（1）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∴C（2，0）．
∴OC=2．
∵AC=OC，
∴AC=2．
∴A（2，-2）．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：4a-8a=-2，解得：-4a=-2，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2x．

（2）如圖1所示：

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）．
∵Q（m，-m-2），
∴x=m，y=-m-2，
將x=m代入y=-m-2得：y=-x-2，
∴點(diǎn)Q在直線y=-x-2上．
過點(diǎn)P作PD∥x軸，交y=-x-2與點(diǎn)D．
設(shè)OA的解析式為y=kx，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：2k=-2，解得k=-1，
∴直線OA的解析式為y=-x，
∴OA∥QD．
∴PQ⊥DQ．
∴△DPQ為等腰直角三角形．
∴DP=$\sqrt{2}$QP=14．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t），則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$t²-2t．
將y=$\frac{1}{2}$t²-2t代入y=-x-2得-x-2=$\frac{1}{2}$t²-2t，解得：x=-$\frac{1}{2}$t²+2t-2．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-$\frac{1}{2}$t²+2t-2．
∴PD=t-（-$\frac{1}{2}$t²+2t-2）=14，解得：t=6或t=-4（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，6）．

（3）如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{2}$t²-2t）．設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)E和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{tk+b=\frac{1}{2}{t}^{2}-2t}\\{2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$（t-2），b=-t，則直線AE的解析式為y=$\frac{1}{2}$（t-2）x-t．
將x=6代入得：y=2t-6．
∴F（6，2t-6）．
∵AC∥DF，
∴∠ACF=∠AFD．
又∵∠CAE=2∠PEF，
∴∠EFD=2∠PEF．
∴∠PEF=∠EPF．
∴PF=EF，即6-（2t-6）=$\sqrt{（6-x）^{2}+（6-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t）^{2}}$，整理得：（6-t）²[（t-2）²-6]=0，
解得：t=$\sqrt{6}$+2或t=-$\sqrt{6}$+2（舍去）或t=0（舍去）．
當(dāng)t=$\sqrt{6}$+2時(shí)，F(xiàn)（6，2$\sqrt{6}$-2）．
∴AF=$\sqrt{（6-2）^{2}+（2\sqrt{6}-2+2）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)是解答問題（1）的關(guān)鍵，得到三角形PDQ為等腰直角三角形，然后依據(jù)PD=14列出關(guān)于t的方程是解答問題（2）的關(guān)鍵，證得FP=FE，然后據(jù)此列出關(guān)于t的方程是解答問題（3）的關(guān)鍵．