Question

3．定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC²=BC•AB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．
（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；
（2）求出線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，則可得到AD=BD=BC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC²=CD•AC，于是有AD²=CD•AC，則可根據(jù)線段黃金分割點(diǎn)的定義得到結(jié)論；
（2）設(shè)AD=x，則CD=AC-AD=1-x，由（1）的結(jié)論得到x²=1-x，然后解方程即可得到AD的長．

解答 （1）證明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC²=CD•AC，
∴AD²=CD•AC，
∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；
（2）設(shè)AD=x，則CD=AC-AD=1-x，
∵AD²=CD•AC，
∴x²=1-x，解得x₁=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
即AD的長為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．