Question

16．如圖（1），線段AB與射線OC相交于點O，且∠BOC=60°，AO=3，OB=1，動點P以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)，在射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t=3秒時，則OP=3，S_△APO：S_△ABP=3：4；
（2）當△OPB是直角三角形時，求t的值；
（3）如圖（2），當AP=AB，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，連接QP，QO、AP交于點F，試證明△APQ∽△BPO．

Answer 1

分析 （1）由動點P以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)，在射線OC做勻速運動，即可得當t=3秒時，則OP=3，又由△APO與△ABP等高，可得其面積比等于其對應底的比；
（2）由∠BOP=60°，可得當△OPB是直角三角形時，∠BOP=90°或∠BPO=90°，然后利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；
（3）由AQ∥BP，又由∠QOP=∠B，易證得△QFA∽△PFO，即可得$\frac{FQ}{FA}=\frac{FP}{FO}$，又由∠PFQ=∠OFA，證得△PFQ∽△OFA，繼而證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵動點P以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)，在射線OC做勻速運動，
∴t=3時，OP=3；
設(shè)P到AB的距離為h，則S_△APO=$\frac{1}{2}$OA•h，S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•h，
∵AO=3，OB=1，
∴AB=AO+OB=4，
∴S_△APO：S_△ABP=OA：AB=3：4；
故答案為：3，3：4；

（2）①∵∠BOP=60°，
∴∠BOP不為直角；
②當∠OBP=90°時，如圖（a）所示，
∵∠BOP=60°，
∴∠OPB=30°，
∴OP=2OB=2，
∴t=2s；
③當∠OPB=90°時，如圖（b）所示，
∵∠BOP=60°，
∴∠OBP=30°，
∴OB=2OP，
∴2t=1，
∴t=$\frac{1}{2}$s，
綜上，當△OPB為直角三角形時，t=2s或$\frac{1}{2}$s；

（3）∵AQ∥BP，
∴∠QAP=∠APB，
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∴∠QAP=∠B，
又∵∠QOP=∠B，
∴∠QAP=∠QOP，
又∵∠QFA=∠PFO，
∴△QFA∽△PFO，
∴$\frac{FQ}{FP}=\frac{FA}{FO}$，
即$\frac{FQ}{FA}=\frac{FP}{FO}$，
又∵∠PFQ=∠OFA，
∴△PFQ∽△OFA，
∴∠QPA=∠QOA．
∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠QOA+∠QOP，∠B=∠QOP，
∴∠QOA=∠OPB，
∴∠OPB=∠QPA．
∴△APQ∽△BPO．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題．考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°的直角三角形的性質(zhì)以及動點問題．注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關(guān)鍵．