Question

2．如圖，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AB=10，AD=2，則AC的長(zhǎng)為（　�。�

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 作∠A的平分線，利用角平分線的性質(zhì)可知：AF=AD，DE=EF，利用相似三角形的性質(zhì)可知：CD=4ED，設(shè)EF=a，利用相似三角形的性質(zhì)求出a的值．

解答 解：作∠A的平分線交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠BAC=2∠DAE，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠DAE=∠B，
∴△ADE∽△BDC，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{CD}$，
∴CD=4ED，
∵AE平分∠DAC，
ED⊥AB，EF⊥AC，
∴AD=AF=2，DE=EF，
設(shè)DE=a，
∴CD=4a，EF=a，
∴CE=3a，
∴由勾股定理可求得：CF=2$\sqrt{2}$a，
∵△CEF∽△CAD，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AD}$，
∴$\frac{3a}{2\sqrt{2}a+2}=\frac{a}{2}$，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴CF=4，
∴AC=6，
故選（B）

點(diǎn)評(píng) 本題考查角平分線的性質(zhì)，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識(shí)，綜合程度較高．