Question

13．線段EA，AC，CB，BF組成折線圖形，若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β
（1）如圖①，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，若AM∥BN，則α與β有何關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（2）如圖②，若∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與α、β的關(guān)系是α=∠APB+$\frac{1}{2}$β或α+∠APB=$\frac{1}{2}$β．
（3）如圖③，若α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P₁，∠EAP₁與∠FBP₁的平分線交于P₂；依此類推，則∠P₅=α-$\frac{31}{32}$β．（用α、β表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義表示出∠MAC+∠NCB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠C=∠MAC+∠NCB；
（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠PAC+∠PBC，再分點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方和上方兩種情況，利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論分別表示出∠P₁、∠P₂…，從而得解．

解答 解：（1）∵AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，
∴∠MAC+∠NCB=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$β，
∵AM∥BN，
∴∠C=∠MAC+∠NCB，
即α=$\frac{1}{2}$β；

（2）∵∠EAC的平分線與∠FBC平分線相交于P，
∴∠PAC+∠PBC=$\frac{1}{2}$∠EAC+$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$β，
若點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方，則∠C=∠APB+（∠PAC+∠PBC），
即α=∠APB+$\frac{1}{2}$β，
若點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方，則∠C+∠APB=∠PAC+∠PBC，
即α+∠APB=$\frac{1}{2}$β；
綜上所述，α=∠APB+$\frac{1}{2}$β或α+∠APB=$\frac{1}{2}$β；

（3）由（2）得，∠P₁=∠C-（∠PAC+∠PBC）=α-$\frac{1}{2}$β，
∠P₂=∠P₁-（∠P₂AP₁+∠P₂BP₁），
=α-$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{4}$β=α-$\frac{3}{4}$β，
∠P₃=α-$\frac{3}{4}$β-$\frac{1}{8}$β=α-$\frac{7}{8}$β，
∠P₄=α-$\frac{7}{8}$β-$\frac{1}{16}$β=α-$\frac{15}{16}$β，
∠P₅=α-$\frac{15}{16}$β-$\frac{1}{32}$β=α-$\frac{31}{32}$β．
故答案為：（2）α=∠APB+$\frac{1}{2}$β或α+∠APB=$\frac{1}{2}$β；（3）α-$\frac{31}{32}$β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．