Question

【題目】如圖，菱形 的對角線交于點(diǎn) 是線段上一動點(diǎn)， E 是線段 AB上一個動點(diǎn)，則 的最小值為 ____________．

Answer 1

【答案】

【解析】

本題中BP+EP是折線段，要想最小，故想辦法將折線段拉直，故過B點(diǎn)作AC的對稱點(diǎn)，剛好為D點(diǎn)，連接DP，則發(fā)現(xiàn)DP=BP，故相當(dāng)于求DP+PE的最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短知：過D點(diǎn)作AB的垂線，交AB于H點(diǎn)，DH即為最小值，再利用菱形等面積法求DH的長.

解：過B點(diǎn)作AC的對稱點(diǎn)，由菱形對稱性知剛好落在D處，連接DP，

則BP=DP，故BP+EP=DP+EP，

過D點(diǎn)作DH⊥AB于H點(diǎn)，

∴ 當(dāng)E、P、D三點(diǎn)共線，且DE⊥AB時，由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短知：

此時DP+EP有最小值，為DH長.

又四邊形ABCD為菱形，DH⊥AB，

∴由菱形的等面積法知：AB×DH=×AC×BD，且AB=5，代入數(shù)據(jù)：

∴ 5×DH=×8×6，故DH=.

故答案為：.