Question

9．如圖，正方形ABCD中，AB=3，O是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AO=2$\sqrt{3}$，OE⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F、G分別在CD、CB上，∠FOG=90°，且DF=2，連接AF、EG，M是EG的中點(diǎn)，連接MO并延長(zhǎng)交AF于點(diǎn)N，則MN=$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，作OH⊥CD于H，OK⊥BC于K，延長(zhǎng)OM到P使得MP=OM，首先證明△OKG≌△OHF，推出OF=OG，再證明△EOP≌△OAF，推出AF=OP，根據(jù)S_△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S_△ADC-S_△ADF-S_△OCF，求出ON，再求出OM即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，作OH⊥CD于H，OK⊥BC于K，延長(zhǎng)OM到P使得MP=OM．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，∵OH⊥CD，OK⊥CB，∠BAC=45°，
∴OH=OK，
∵∠OKC=∠OHC=∠BCD=90°，
∴四邊形OHCK是矩形，
∴∠KOH=∠GOF=90°，
∴∠KOG=∠HOF，∵∠OKG=∠OHF=90°，
∴△OKG≌△OHF，
∴OG=OF，
∵EO⊥OA，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴OA=OE，
∵M(jìn)G=ME，MO=MP，∠OMG=∠PME，
∴△OMG≌△PME，
∴OG=PE=OF，∠P=∠MOG，
∴PE∥OG，
∴∠OEP+∠EOG=180°，
∵∠AOF+∠EOG=180°，
∴∠OEP=∠AOF，∵OA=OE，OF=PE，
∴△EOP≌△OAF，
∴AF=OP，∴∠OAF=∠POE，
∵∠POE+∠AON=90°，
∴∠OAF+∠AON=90°，
∴∠ANO=90°，
∴ON⊥AF，
∵S_△AOF=$\frac{1}{2}$•AF•ON=S_△ADC-S_△ADF-S_△OCF，
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{13}$•ON=$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$•1•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3$\sqrt{2}$-2$\sqrt{3}$），
∴ON=$\frac{\sqrt{78}}{13}$，
∵OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴MN=ON+OM=$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{78}}{13}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用面積法求線段，屬于中考填空題中的壓軸題．