Question

12．如圖，O為菱形ABCD對角線的交點，M是射線CA上的一個動點（點M與點C，O，A都不重合），過點A，C分別向直線BM作垂線段，垂足分別為E，F(xiàn)，連接OE，OF．
（1）①依據(jù)題意補全圖形；
②猜想OE與OF的數(shù)量關(guān)系為OE=OF．
（2）小東通過觀察、實驗發(fā)現(xiàn)點M在射線CA上運動時，（1）中的猜想始終成立．
小東把這個發(fā)現(xiàn)與同學(xué)們進行交流，通過討論，形成了證明（1）中猜想的幾種想法：
想法1：由已知條件和菱形對角線互相平分，可以構(gòu)造與△OAE全等的三角形，從而得到相等的線段，再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可證明猜想；
想法2：由已知條件和菱形對角線互相垂直，能找到兩組共斜邊的直角三角形，例如其中的一組△OAB和△EAB，再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，菱形四邊 相等，可以構(gòu)造一對以O(shè)E和OF為對應(yīng)邊的全等三角形，即可證明猜想．
…
請你參考上面的想法，幫助小東證明（1）中的猜想（一種方法即可）．
（3）當(dāng)∠ADC=120°時，請直接寫出線段CF，AE，EF之間的數(shù)量關(guān)系是EF=$\sqrt{3}$（CF+AE）．

Answer 1

分析 （1）①由題意直接補全圖形，②結(jié)論是OE=OF，
（2）方法1、先判斷出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
方法2、利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得出結(jié)論；
（3）判斷出△NOF是等邊三角形，再借助直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①補全的圖形如圖所示．

②OE=OF．


（2）法一：
證明：如圖1，
延長EO交FC的延長線于點N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO．
∵AE⊥BM，CF⊥BM，
∴AE∥CF．
∴∠AEO=∠CNO．
又∵∠AOE=∠CON，
∴△AOE≌△CON．
∴OE=ON=$\frac{1}{2}EN$．
∵Rt△EFN中，O是斜邊EN的中點，
∴OF=$\frac{1}{2}EN$．
∴OE=OF．
法二：
證明：如圖2，
取線段AB，BC的中點P，Q，連接OP，PE，OQ，QF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD．
∵P，Q是AB，BC的中點，
∴$OP=PB=\frac{1}{2}AB$，$OQ=QB=\frac{1}{2}BC$．
∴OP=OQ．
同理，PE=QF．
∵OP=PB，PE=PB，
∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA．
∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE．
同理，∠OQF=2∠OCF．
∵AC⊥BD，CF⊥BM，
∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．
∴∠OBE=∠OCF．
∴∠OPE=∠OQF．
∴△OPE≌△OQF．
∴OE=OF．
（3）如圖1，
由（2）方法一、得出△AOE≌△CON，
∴AE=CN，OE=ON，
由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADC=120°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∵∠AOB=∠AEB=90°，
∴點A、E、B、O共圓，
∴∠AOE=∠ABE，
同理：∠COF=∠CBF，
∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，
∵OF=ON，
∴△FON是等邊三角形，
∴∠ONF=60°，
∴∠FEN=30°，
在Rt△EFN中，∠FEN=30°，
∴EF=$\sqrt{3}$FN=$\sqrt{3}$（CF+CN）=$\sqrt{3}$（CF+AE）．
故答案為：$EF=\sqrt{3}（CF+AE）$．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，解（3）的關(guān)鍵是判斷出△OFN是等邊三角形，是一道中考�？碱}．