Question

5．在矩形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BC上一點，連接EF、DF，若AB=4，BC=8，EF=2$\sqrt{5}$，則DF的長為2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 分兩種情況進行討論，先過F作FG⊥AD于G，構造直角三角形，根據(jù)勾股定理求得EG的長，再根據(jù)勾股定理求得DF的長即可．

解答 解：①如圖所示，當BF＞CF時，過F作FG⊥AD于G，則GF=4，

Rt△EFG中，EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
又∵E是AD的中點，AD=BC=8，
∴DE=4，
∴DG=4-2=2，
∴Rt△DFG中，DF=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；

②如圖所示，當BF＜CF時，過F作FG⊥AD于G，則GF=4，

Rt△EFG中，EG=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=2，
又∵E是AD的中點，AD=BC=8，
∴DE=4，
∴DG=4+2=6，
∴Rt△DFG中，DF=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故答案為：2$\sqrt{5}$或2$\sqrt{13}$．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，解題時注意分類思想的運用．