Question

1．已知：如圖1，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4cm，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5cm，過點(diǎn)E平行于BD的直線EF，交CD于F，交AC于Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段EF上時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)E都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△PEF的面積為y（cm²）
（1）當(dāng)t=$\frac{4}{3}$時(shí)，點(diǎn)P恰好運(yùn)動(dòng)到線段EF上；（請直接寫出答案）
（2）如圖2，過點(diǎn)P作PH⊥BC于H，當(dāng)t為何值時(shí)，△PEH∽△EFC？
（3）求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）如圖3，取PF的中點(diǎn)N，連接EN，交AC于M，請問隨著時(shí)間t的改變，點(diǎn)M的位置會(huì)發(fā)生改變嗎？如果會(huì)改變請說明點(diǎn)M的變化情況；如果不會(huì)改變，請求出點(diǎn)M的具體位置．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段EF上時(shí)，則CE=4t，AP=5t，再由EF∥BD得出△CPE∽△CGB，由相似三角形的性質(zhì)得出PC的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)BC⊥AB可知△AGP∽△ABC，故可得出AG，GP的長，再根據(jù)△PEH∽△EFC即可得出t的值；
（3）根據(jù)S_△PEF=S_梯形PHCF-S_△EFC-S_△PHE即可得出結(jié)論；
（4）只要證明PQ、EN是△PEF的中線，得到MQ=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{10}{3}$-$\frac{5}{2}$t，求出CM即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段EF上時(shí)，則CE=4t，AP=5t，
∵矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC=BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．
∵EF∥BD，
∴△CPE∽△CGB，
∴$\frac{PC}{CG}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{PC}{5}$=$\frac{4t}{8}$，解得PC=2.5t，∵AC=QP+PC=5t+2.5t=10，
∴t=$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$；

（2）如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，
∵BC⊥AB，
∴PG∥BC，
∴△AGP∽△ABC，
∵△PEH∽△EFC，
∴$\frac{PH}{EC}$=$\frac{EH}{FC}$，
∴$\frac{6-3t}{4t}$=$\frac{8-8t}{3t}$
解得t=$\frac{14}{23}$（秒）；

（3）S_△PEF=S_梯形PHCF-S_△EFC-S_△PHE
=$\frac{1}{2}$（PH+FC）•HC-$\frac{1}{2}$PH•HE-$\frac{1}{2}$EC•FC
=3（8-4t）-$\frac{1}{2}$（6-3t）（8-8t）-2t•3t
=24-12t-12t²+36t-24-6t²
=-18t²+24t，即y=-18t²+24t；

（4）不變．
如圖3，由題意可知：PA=5t．CE=4t，AO=CO=BO=OD=5，
∵EF∥BD，
∴$\frac{CQ}{CO}$=$\frac{CE}{CB}$，$\frac{EQ}{BO}$=$\frac{QF}{OD}$=$\frac{CQ}{CO}$，
∴$\frac{CQ}{5}$=$\frac{4t}{8}$，EQ=QF
∴CQ=$\frac{5}{2}$t，PQ=10-5t-$\frac{5}{2}$t=10-$\frac{15}{2}$t
∵PQ、EN是△PEF的中線，
∴MQ=$\frac{1}{3}$PQ=$\frac{10}{3}$-$\frac{5}{2}$t．，
∴CM=MQ+CQ=$\frac{10}{3}$，
∴點(diǎn)M是定點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查的是四邊形綜合題，涉及到矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度較大．