Question

4．（1）已知函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象的一個交點為A（a，b），則$\frac{1}{a}-\frac{1}$=$-\frac{5}{2}$．
（2）如果x滿足x²-3x+1=0，試求代數(shù)式（x-$\frac{1}{x}}$）²的值．
（3）已知a=$\frac{1}{{2-\sqrt{5}}}$，b=$\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}$，求a+b+ab的值．

Answer 1

分析 （1）將點A（a，b）代入函數(shù)y=x+5和函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$，求得ab=-2，b-a=5，即可得出$\frac{1}{a}-\frac{1}$的值；
（2）將x²-3x+1=0兩邊都除以x，求得x+$\frac{1}{x}$=3，再根據(jù)（x-$\frac{1}{x}}$）²=（x+$\frac{1}{x}}$）²-4進行計算即可；
（3）將a和b進行分母有理化，再代入a+b+ab進行計算即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=x+5的圖象與反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象的一個交點為A（a，b），
∴b=a+5，ab=-2，
∴b-a=5，
∴$\frac{1}{a}-\frac{1}$=$\frac{b-a}{ab}$=$\frac{5}{-2}$=$-\frac{5}{2}$；
故答案為：$-\frac{5}{2}$；

（2）∵x²-3x+1=0，x≠0
∴x-3+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=3，
∴（x-$\frac{1}{x}}$）²=（x+$\frac{1}{x}}$）²-4=3²-4=5；

（3）∵a=$\frac{1}{{2-\sqrt{5}}}$=-2-$\sqrt{5}$，
b=$\frac{1}{{2+\sqrt{5}}}$=-2+$\sqrt{5}$，
∴a+b+ab
=-2-$\sqrt{5}$-2+$\sqrt{5}$+（-2-$\sqrt{5}$）（-2+$\sqrt{5}$）
=-4+（-1）
=-5．

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，分式求值以及分母有理化的運用，解題時注意：函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)符合函數(shù)解析式．