Question

1．如圖，射線PG平分∠EPF，O為射線PG上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，10為半徑作⊙O，分別與∠EPF兩邊相交于A、B和C、D，連結(jié)OA，此時(shí)有OA∥PE
（1）求證：AP=AO；
（2）若弦AB=12，求tan∠OPB的值．

Answer 1

分析 （1）由PG平分∠EPF可得∠CPO=∠APO，由AO∥PD可得∠CPO=∠AOP，從而有∠APO=∠AOP，則有AP=AO．
（2）過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，如圖2．根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=6，從而可求出PH，在Rt△AHO中，運(yùn)用勾股定理可求出OH，然后運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義就可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，
∵PG平分∠EPF，
∴∠CPO=∠APO．
∵AO∥PD，
∴∠CPO=∠AOP，
∴∠APO=∠AOP，
∴AP=AO．

（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，如圖．
根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴PH=PA+AH=AO+AH=10+6=16．
在Rt△AHO中，
OH=$\sqrt{O{A}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{100-36}$=8，
∴tan∠OPB=$\frac{OH}{PH}$=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．
∴tan∠OPB的值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，綜合性比較強(qiáng)．