Question

1．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（2，0），△OAC為等邊三角形．
（1）如圖1，若D（0，4），△ADE為等邊三角形，∠DAC=10°，求∠AEC的度數(shù)．
（2）如圖2，若P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且P在A的右側(cè)，△PCM為等邊三角形，MA的延長(zhǎng)線交y軸于N，求AM-AP的值．
（3）如圖3，若P為x軸正半軸上一點(diǎn)，且P在A的右側(cè)，△PAM為等邊三角形，OM與PC交于F，求證：AF+MF=PF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，求出∠CAE=∠DAO，根據(jù)SAS證△CAE≌△OAD，推出CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，求出∠OCP=∠ACM，根據(jù)SAS推出△OCP≌△ACM，推出AM=OP，求出AM-OP=OP-AP=OA=2，即可得出答案；
（3）如圖3，將△PAF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EAM，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相關(guān)線段間的和差關(guān)系證得結(jié)論．

解答 （1）解：如圖1，∵△AOC和△DAE是等邊三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°
∴∠CAE=∠DAO=60^○-∠CAD，
在△CAE和△OAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AO}\\{∠CAE=∠OAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴CE=OD=4，∠ACE=∠AOD=90°，
∵∠DAC=10°，∠DAE=60°，
∴∠CAE=60°+10°=70°，
∴∠AEC=180°-90°-70°=20°；

（2）解：如圖2，∵△AOC和△CPM是等邊三角形，
∴OA=AC，CP=CM，∠OCA=∠MCP=60°，
∴∠OCP=∠ACM，
在△OCP和△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CP}\\{∠OCP=∠ACM}\\{OC=AC}\end{array}\right.$，
∴△OCP≌△ACM（SAS），
∴AM=OP，
∴AM-OP=OP-AP=OA，
∵A（2，0），
∴OA=2，
即AM-AP=2；

（3）證明：如圖3，將△PAF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EAM，
則△PAF≌△MAE，∠FAE=60°，
∴PF=EM，AF=AE，
∴△EAF是等邊三角形，
∴EF=AF，
∴AF+MF=EF+MF=EM=PF，即AF+MF=PF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解答（3）題時(shí)，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得到旋轉(zhuǎn)角為60度是解題的難點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)，需要學(xué)生由很強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力．