Question

10．如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PB+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而可求得k=-4，然后利用y=0，求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后再求得直線AC的解析式，最后令x=-1可求得

解答 解：如圖所示：連接AC，交x=-1與點(diǎn)P．

∵拋物線的解析式為：y=（x+1）²+k，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-1對(duì)稱，
∴PA=PB．
當(dāng)點(diǎn)A、P、C在一條直線上時(shí)，PB+PC有最小值．
將x=0，y=-3代入函數(shù)的解析式得：1²+k=-3．
解得：k=-4．
∴拋物線的解析式為y=（x+1）²-4．
令y=0得；（x+1）²-4=0，
解得：x₁=-3，x₂=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）．
設(shè)AC的解析式為y=kx-3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：-3k-3=0．
解得：k=-1．
∴AC的解析式為y=-x-3．
將x=-1代入得：y=-（-1）-3=1-3=-2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、軸對(duì)稱路徑最短問(wèn)題，明確點(diǎn)A、P、C在一條直線上時(shí)，PB+PC有最小值是解題的關(guān)鍵．