Question

18．如圖1，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象過點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)A（4，0），函數(shù)圖象最低點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-$\frac{8}{3}$，直線l的解析式為y=x．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）直線l沿x軸向右平移，得直線l′，l′與線段OA相交于點(diǎn)B，與x軸下方的拋物線相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，把△BCE沿直線l′折疊，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上點(diǎn)E′時(shí)（圖2），求直線l′的解析式；
（3）在（2）的條件下，l′與y軸交于點(diǎn)N，把△BON繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△B′ON′，P為l′上的動點(diǎn)，當(dāng)△PB′N′為等腰三角形時(shí)，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\frac{8}{3}$），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-$\frac{8}{3}$，把（0，0）代入得到a=$\frac{2}{3}$，即可解決問題；
（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m），B（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{11}{3}$m，0），由E、B關(guān)于對稱軸對稱，可得$\frac{m+（-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{11}{3}m）}{2}$=2，由此即可解決問題；
（3）分兩種情形求解即可①當(dāng)P₁與N重合時(shí)，△P₁B′N′是等腰三角形，此時(shí)P₁（0，-3）．②當(dāng)N′=N′B′時(shí)，設(shè)P（m，m-3），列出方程解方程即可；

解答 解：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\frac{8}{3}$），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-$\frac{8}{3}$，
把（0，0）代入得到a=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{2}{3}$（x-2）²-$\frac{8}{3}$，即y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x．

（2）如圖1中，設(shè)E（m，0），則C（m，$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m），B（-$\frac{2}{3}$m²+$\frac{11}{3}$m，0），

∵E′在拋物線上，易知四邊形EBE′C是正方形，拋物線的對稱軸也是正方形的對稱軸，
∴E、B關(guān)于對稱軸對稱，
∴$\frac{m+（-\frac{2}{3}{m}^{2}+\frac{11}{3}m）}{2}$=2，
解得m=1或6（舍棄），
∴B（3，0），C（1，-2），
∴直線l′的解析式為y=x-3．

（3）如圖2中，

①當(dāng)P₁與N重合時(shí)，△P₁B′N′是等腰三角形，此時(shí)P₁（0，-3）．
②當(dāng)N′=N′B′時(shí)，設(shè)P（m，m-3），
則有（m-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（m-3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$）²=（3$\sqrt{2}$）²，
解得m=$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，
∴P₂（$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3-3\sqrt{3}}{2}$），P₃（$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3+3\sqrt{3}}{2}$）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，-3）或（$\frac{3\sqrt{2}+3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3-3\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{3\sqrt{2}+3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3+3\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會根據(jù)方程，屬于中考壓軸題．