Question

8．如圖，拋物線y=ax²-4x的圖象與x軸的一個交點為A（6，0），點B為拋物線的頂點，連結(jié)OB、AB，作OC⊥OB交BA的延長線于點C．
（1）求a的值及點B的坐標；
（2）求點C的坐標；
（3）設(shè)過原點O的直線交拋物線于點P，且滿足∠AOP=∠ABO，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入拋物線解析式可求得a的值，則可求得拋物線解析式，化為頂點式可求得B點坐標；
（2）由A、B坐標可求得直線AC的解析式，可設(shè)出C點坐標，過C作CE⊥y軸于點E，過B作BD⊥y軸于點D，可證明△COE∽△OBD，則可得到關(guān)于C點坐標的方程，可求得C點坐標；
（3）當(dāng)點P在第一象限時，過P作PM⊥x軸于點M，在Rt△BOC中可求得∠ABO的正切值，則可求得PM與OM的關(guān)系，可設(shè)出P點坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；當(dāng)點P在第四象限時，過點P作PN⊥x軸于點N，同理可設(shè)出P點坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標．

解答 解：
（1）把A（6，0）代入拋物線解析式可得0=36a-24，解得a=$\frac{2}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{3}$x²-4x=$\frac{2}{3}$（x-3）²-6，
∴頂點B的坐標為（3，-6）；
（2）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（6，0），B（3，-6）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x-12，
∴可設(shè)C（x，2x-12），
如圖1，過C作CE⊥y軸于點E，過B作BD⊥y軸于點D，

則CE=x，OE=2x-12，且BD=3，OD=6，
∵∠BDO=∠BOC=∠CEO=90°，
∴∠BOD+∠COE=∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
∴△COE∽△OBD，
∴$\frac{CE}{OD}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{2x-12}{3}$，解得x=8，
∴C（8，4）；
（3）當(dāng)點P在第一象限時，如圖2，過P作PM⊥x軸于點M，

∵B（3，-6），C（8，4），
∴OB=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠BOC=90°，
∴tan∠ABO=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠AOP=$\frac{PM}{OM}$=$\frac{4}{3}$，
∴可設(shè)P點坐標為（3m，4m），
把P點坐標代入拋物線解析式可得4m=$\frac{2}{3}$（3m）²-4•3m，解得m=0（舍去）或m=$\frac{8}{3}$，
∴點P的坐標為（8，$\frac{32}{3}$）；
當(dāng)點P在第四象限時，過P作PN⊥x軸于點N，如圖3，

同理可設(shè)P點坐標為（3n，-4n），代入拋物線解析式可得-4n=$\frac{2}{3}$（3n）²-4×3n，解得n=0（舍去）或n=$\frac{4}{3}$，
∴P點坐標為（4，-$\frac{16}{3}$）；
綜上可知，符合題意的點P有兩個，其坐標為（8，$\frac{32}{3}$）或（4，-$\frac{16}{3}$）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)的定義及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)示的應(yīng)用，在（2）中構(gòu)造相似三角形，得到關(guān)于C點坐標的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出∠AOP的正切值是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．