Question

7．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2，2）、（4，0），點(diǎn)D、E分別是邊OA、AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，過點(diǎn)D的拋物線y=x²+2mx+n（m、n為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P．
（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）．用含m的代數(shù)式表示n為n=-2m．
（2）當(dāng)拋物線y=x²+2mx+n過點(diǎn)B時(shí)，如圖②．
①求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
②若點(diǎn)M在該拋物線上，且位于x軸下方，點(diǎn)N在正方形OABC的邊上，當(dāng)以DE和MN為對(duì)邊的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC的邊上或內(nèi)部，且拋物線y=x²+2mx+n與線段EF沒有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，把點(diǎn)D坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可解決問題．
（2）①把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可．
②觀察圖象可知點(diǎn)N在BC邊上，直線BC的解析式為y=x-4，設(shè)M（m，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），則N（m+2，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），把點(diǎn)N坐標(biāo)代入直線BC的解析式即可．
（3）分對(duì)稱軸在點(diǎn)F左邊或點(diǎn)E右邊，分別列出不等式組，解不等式組即可解決問題．

解答 解：（1）∵A（2，2），DO=DA，
∴D（1，1），
把D（1，1）代入y=x²+2mx+n得1=1+2m+n，
∴n=-2m．
故答案為（1，1），n=-2m．

（2）①∵y=x²+2mx-2m經(jīng)過點(diǎn)B（4，0），
∴0=16+8m-2m，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{16}{3}$x+$\frac{16}{3}$．

②觀察圖象可知點(diǎn)N在BC邊上，直線BC的解析式為y=x-4，
設(shè)M（m，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），則N（m+2，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$），
把點(diǎn)N坐標(biāo)代入直線BC的解析式得到，m²-$\frac{16}{3}$m+$\frac{16}{3}$=m+2-4，
整理得到3m²-19m+22=0，
解得m=$\frac{19-\sqrt{97}}{6}$或$\frac{19+\sqrt{97}}{6}$（舍棄）
∴N（$\frac{31-\sqrt{97}}{6}$，$\frac{7-\sqrt{97}}{6}$）．

（3）由題意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2m}{2}＜\frac{3}{2}}\\{-m≥2m+{m}^{2}}\\{-m≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2m}{2}＞2}\\{4+m≥2m+{m}^{2}}\\{4+m≥0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{3}{2}$≤m≤0或$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$≤m＜-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、不等式組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為不等式組解決問題，屬于中考?jí)狠S題．