Question

20．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．

填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；②AD與BE的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)D=BE．
（2）拓展探究：圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一只顯示行，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件可以判定：△ACD≌△BCE，可得AD=BE，再由角度關(guān)系求得∠AEB=60°；
（2）同（1）可證：△ACD≌△BCE，得到AD=BE，∠AEB=90°，再由CM⊥DE，可得CM=$\frac{1}{2}$DE，進(jìn)而可求得線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=BE+2CM．

解答 解：（1）∵△ACB與△DCE都為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=60°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD與△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=120°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，
 故答案為：60°，AD=BE；
（2）①∵△ACB與△DCE都為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∵∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=90°
∴∠ACD=∠ECB，
∴在△ACD與△BCE中有
         $\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$ 
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠ADC=135°，AD=BE，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°，
 故∠AEB的度數(shù)為90°；
 ②∵CM⊥DE，△CDE為等腰直角三角形，
∴DM=DE（三線合一）
∴CM=$\frac{1}{2}$DE，
∴AE=AD+DE=BE+2CM，
即：線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=BE+2CM．

點(diǎn)評(píng) 此題考查旋轉(zhuǎn)型全等，角度、線段之間的靈活轉(zhuǎn)化，涉及了等腰三角形中的三線合一，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等基礎(chǔ)知識(shí)．