Question

3．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于圓O，P是劣弧AB上任意一點，連接PA，PB，PC，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D．
（1）求證：△ADP∽△CAP；
（2）求證：PC=PA+PB；
（3）若DP=3，AD=7，求△ABC的邊長．

Answer 1

分析 （1）作⊙O的直徑AE，連接EP．由圓周角定理可知∠APE=90°，∠E=∠2，由切線的性質(zhì)可知∠1+∠EAP=90°，從而可證明∠1=∠2，然后由等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可證明∠DPA=∠APC；
（2）在PC上截取PF=PB，連接BF．證明△ABP≌△CBF，得到AP=CF，從而可證明PC=PA+PB；
（3）設(shè)△ABC的邊長為x．先證明△ADP∽△BDA，△BDA∽△CAP，從而得到$PC=\frac{1}{3}{x}^{2}$，然后由PC=PA+PB列方程求解即可．

解答 證明：（1）作⊙O的直徑AE，連接EP．

∵AE是⊙O的直徑，
∴∠APE=90°，
∵∠E=∠2，
∴∠E+∠EAP=∠2+∠EAP=90°
∵AD是⊙O切線，
∴∠1+∠EAP=90°．
∴∠1=∠2．
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，∠ABC=60°．
∵四邊形APBC為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠DPA=∠ACB=60°．
∵∠APC=∠ABC，
∴∠APC=60°．
∴∠DPA=∠APC．
∴△ADP∽△CAP．
（2）在PC上截取PF=PB，連接BF．

∵∠BPC=∠BAC=60°，PB=PF，
∴△BFP是等邊三角形．
∴∠ABP+∠ABF=∠CBF+∠ABF．
∴∠ABP=∠CBF．
在△ABP和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PBA=∠FBC}\\{∠3=∠4}\\{PB=FB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBF．
∴AP=CF．
∴PC=CF+PF=PA+PB．
（3）設(shè)△ABC的邊長為x．
∵∠1=∠2=∠ABD，∠D=∠D，
∴△ADP∽△BDA．
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{PD}{AD}=\frac{AP}{BA}$．
∴△BDA∽△CAP．
∴$\frac{BD}{CA}=\frac{AB}{PC}$．
∴$PC=\frac{1}{3}{x}^{2}$．
∵PC=PA+PB，
∴$\frac{1}{3}{x}^{2}=\frac{3}{7}x+\frac{40}{3}$．
解得：x₁=7，${x}_{2}=-\frac{40}{7}$（舍去）．

點評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定，能夠利用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．