Question

11．已知△ABC，D，E分別為AB，BC上的中點(diǎn)，F(xiàn)，G為AC的三等分點(diǎn)．連接EF，DG交于K．連接AK，CK，求證：四邊形ABCK為平行四邊形．

Answer 1

分析 首先延長(zhǎng)KE、AB相交于M，連接BG，根據(jù)D，E分別為AB，BC上的中點(diǎn)，F(xiàn)，G為AC的三等分點(diǎn)可得$\frac{KG}{DG}$=$\frac{CG}{AG}$，然后可證出△CKG∽△ADG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠DAG=∠KCG，$\frac{KC}{AD}=\frac{KG}{DG}$=2，進(jìn)而可得KC∥AB，KC=2AD=AB，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)KE、AB相交于M，連接BG，
∵CF=FG，CE=BE，
∴EF∥BG，
∵AG=FG，
∴MB=AB=2BD，
∵BG∥EF，
∴BG∥KM，
∴$\frac{KG}{DG}$=$\frac{BM}{BD}$=2，
而$\frac{CG}{AG}$=2，
∴$\frac{KG}{DG}$=$\frac{CG}{AG}$，
∴△CKG∽△ADG，
∴∠DAG=∠KCG，$\frac{KC}{AD}=\frac{KG}{DG}$=2，
∴KC∥AB，KC=2AD=AB，
∴四邊形ABCK為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確證明△CKG∽△ADG．