Question

13．如圖，一只蜘蛛在等腰Rt△ABC鋼梁上織網(wǎng)綱，∠BAC=90°，AB=AC=8，E在AB上，BE=2，要在頂梁柱AD（中線）上定一點(diǎn)F，從B點(diǎn)到F點(diǎn)拉網(wǎng)綱，再?gòu)腇點(diǎn)到E點(diǎn)拉網(wǎng)綱．
（1）F點(diǎn)在AD（中線）上何處時(shí)網(wǎng)綱（BF+FE）最短，并證明．
（2）在（1）中，求最短網(wǎng)綱（BF+FE）的長(zhǎng)度．
（3）在AB上還有點(diǎn)E₁、E₂，已知BE=EE₁=E₁E₂=E₂A=2，現(xiàn)在蜘蛛要在B、E兩點(diǎn)之間，E、E₁兩點(diǎn)之間，E₁、E₂兩點(diǎn)之間都要到頂梁柱AD上定一次點(diǎn)拉網(wǎng)綱，直到E₂點(diǎn)結(jié)束，求這些網(wǎng)綱之和最短時(shí)的長(zhǎng)度？

Answer 1

分析 （1）利用軸對(duì)稱求最短路徑得出F點(diǎn)位置，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理的出答案；
（3）利用（2）中解題思路，結(jié)合勾股定理求出答案．

解答 解：（1）如圖1：作E點(diǎn)關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接BE′，交AD于點(diǎn)F，
F點(diǎn)即為所求，
證明：由對(duì)稱的性質(zhì)可得：EF=FE′，此時(shí)BE′在一條直線上，在AD上任取一點(diǎn)與B，E′構(gòu)成三角形，利用三角形兩邊之和大于第三邊可得BE′最小，即可得出，BF+FE最短；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E′，作E′N⊥BC于點(diǎn)N，
∵∠BAC=90°，AB=AC=8，
∴BC=8$\sqrt{2}$，
∵BE=2，則CE′=2，
∴E′C=NC=$\sqrt{2}$，
∴BN=7$\sqrt{2}$，
在△BNE′中，BE′=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=10；

（3）如圖2，由（2）可得：BF+EF=10，
同理可得：EF₁+E₁F₁=EM=$\sqrt{52}$=2$\sqrt{13}$，E₁K=E₁F₂+E₂F₂=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
故這些網(wǎng)綱之和最短時(shí)的長(zhǎng)度和為：10+2$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了利用軸對(duì)稱取最短路線以及勾股定理，正確利用軸對(duì)稱求出F點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．