Question

17．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（k-5）x+1-k=0，其中k為常數(shù)．
（1）求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根；
（2）已知函數(shù)y=x²+（k-5）x+1-k的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍；
（3）若原方程的一個根大于3，另一個根小于3，求k的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△＞0，根據(jù)判別式的意義即可證明；
（2）由于二次函數(shù)y=x²+（k-5）x+1-k的圖象不經(jīng)過第三象限，又△=（k-5）²-4（1-k）=（k-3）²+12＞0，所以拋物線的頂點(diǎn)在x軸的下方經(jīng)過一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線開口向上，由此可以得出關(guān)于k的不等式組，解不等式組即可求解；
（3）設(shè)方程的兩個根分別是x₁，x₂，根據(jù)題意得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得k的取值范圍，再進(jìn)一步求出k的最大整數(shù)值．

解答 （1）證明：∵△=（k-5）²-4（1-k）=k²-6k+21=（k-3）²+12＞0，
∴無論k為何值，方程總有兩個不相等實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵二次函數(shù)y=x²+（k-5）x+1-k的圖象不經(jīng)過第三象限，
∵二次項(xiàng)系數(shù)a=1，
∴拋物線開口方向向上，
∵△=（k-3）²+12＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，
設(shè)拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5-k＞0，x₁•x₂=1-k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范圍是k≤1；

（3）解：設(shè)方程的兩個根分別是x₁，x₂，
根據(jù)題意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，
即x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9＜0，
又x₁+x₂=5-k，x₁•x₂=1-k，
代入得，1-k-3（5-k）+9＜0，
解得k＜$\frac{5}{2}$．
則k的最大整數(shù)值為2．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中．