Question

11．如圖，在銳角三角形ABC中，邊BC=120cm，高AD=80cm，矩形EFGH的頂點(diǎn)E、H分別在AB、AC上，F(xiàn)、G在BC上，AD與EH交于點(diǎn)N．
（1）試說明：△AEH∽△ABC；
（2）若矩形EFGH是正方形，求EH的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)EH為何值時(shí)，矩形EFGH的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)EF∥FG，可得△AEH∽△ABC；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比，列式計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得矩形EFGH的面積最大值．

解答 解：（1）在矩形EFGH中，EF∥FG，
∴△AEH∽△ABC；
（2）設(shè)EH=xcm，
由△AEH∽△ABC得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AN}{AD}$，
即$\frac{x}{120}$=$\frac{80-EF}{80}$，
∴EF=80-$\frac{2}{3}$x，
∵矩形EFGH是正方形，
∴EF=EH，
∴x=80-$\frac{2}{3}$x，
解得x=48，
即EH=48cm．
（3）S_矩形EFGH=EF•EH=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
即當(dāng)EH=60cm時(shí)，矩形EFGH的面積的最大值是2400cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值以及矩形、正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比．