Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、CD的中點(diǎn)，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，則AB的長(zhǎng)為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)DC和AM交于E，過點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，易證得△ABM≌△ECM，即可得AB=$\frac{2}{3}$NE，然后由AM=1，AN=2，且∠MAN=60°，求得AH，NH與EH的長(zhǎng)，繼而求得EN的長(zhǎng)，則可求得答案．

解答 解：延長(zhǎng)DC和AM交于E，過點(diǎn)E作EH⊥AN于點(diǎn)H，如圖．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM．
在△ABM和△ECM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CEN}&{\;}\\{∠B=∠ECM}&{\;}\\{BM=CM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N為邊DC的中點(diǎn)，
∴NE=3NC=$\frac{3}{2}$AB，即AB=$\frac{2}{3}$NE，
∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴EH=$\sqrt{A{E}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴NH=AN-AH=2-1=1，
∴EN=$\sqrt{N{H}^{2}+E{H}^{2}}$=2，
∴AB=$\frac{2}{3}$×2=$\frac{4}{3}$；
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．