Question

12．如圖，已知直線y=-x與二次函數y=-x²+bx+c的圖象交于點A、O，O是坐標原點，OA=3$\sqrt{2}$，點P為二次函數圖象的頂點，點B是AP的中點．
（1）求點A的坐標和二次函數的解析式；
（2）求線段OB的長；
（3）射線OB上是否存在點M，使得△AOM與△AOP相似？若存在，請求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件首先求出點A的坐標，再把O和A點的坐標代入二次函數y=-x²+bx+c得解析式，求出b和c的值；
（2）易證∠AOP=90°，又因為△A0P中，點B為AP的中點，OB=$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{5}$，問題得解；
（3）射線OB上存在點M，使得△AOM與△AOP相似，連接OB并延長，過點A作AM₁⊥OB，垂足為M₁，易證△AOP∽△OM₁A，由相似三角形的性質可求出OM₁的長，結合OB的長即可求出M1的坐標；又過點A作AM₂⊥OA，交OB延長線于M₂，同理可求出M₂的坐標．

解答 解：（1）∵點A在直線y=-x上，且$OA=3\sqrt{2}$，
∴點A坐標（3，-3），
∵點O（0，0），點A（3，-3）在y=-x²+bx+c的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=c}\\{-9+3b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得b=2，c=0，
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x；
（2）由（1）得二次函數圖象的頂點P（1，1），
所以$AP=2\sqrt{5}$，
∵點A在y=-x的圖象上，可得點P在y=x的圖象上，
∴∠AOP=90°，
又∵△A0P中，點B為AP的中點
∴OB=$\frac{1}{2}$AP=$\sqrt{5}$；
（3）存在．理由如下：
如圖，連接OB并延長，過點A作AM₁⊥OB，垂足為M₁
∵∠POA=∠AM₁O=90°，∠PAO=∠AOM₁
∴△AOP∽△OM₁A，
則有：$\frac{{O{M_1}}}{AO}=\frac{AO}{PA}$，可得，$O{M_1}=\frac{{9\sqrt{5}}}{5}$，
由$OB=\sqrt{5}$得點B（2，-1）
∴M1的坐標為（$\frac{18}{5}$，-$\frac{9}{5}$）；
又過點A作AM₂⊥OA，交OB延長線于M₂
∵∠POA=∠M₂AO=90°，∠PAO=∠M₂OA，
∴△AOP∽△OAM₂
則有$\frac{{O{M_2}}}{PA}=\frac{AO}{AO}$，可得，$O{M_2}=2\sqrt{5}$，
由$OB=\sqrt{5}$得點B（2，-1）
∴M2的坐標為（4，-2），
綜上可知：點M坐標為$（\frac{18}{5}，-\frac{9}{5}）$或（4，-2）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識點，難度不大．第（2）問有多種解法，同學們可以從不同角度嘗試與探究．