Question

學習了勾股定理的逆定理，我們知道：在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形為直角三角形．類似地，我們定義：對于任意的三角形，設(shè)其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足，則稱這個三角形為勾股三角形．

（1）根據(jù)“勾股三角形”的定義，請你直接判斷命題：“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題？

（2）已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；

（3）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=，AC=1+，BC=2，⊙O的直徑BE交AC于點D．

①求證：△ABC是勾股三角形；

②求DE的長．

 

 

Answer 1

(1) 假命題；(2)102; (3) ①證明見解析；.

【解析】

試題分析：(1）直接根據(jù)“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；

（2）利用已知：（得出等量量關(guān)系組成方程組，進而求出x+y的值；

（3）①過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，進而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出答案；

②過D作DK⊥AB于K，設(shè)KD=h，首先得出h+h=，進而得出h的值，求出BD，進而得出DE的長．

試題解析：（1）假命題；

（2）由題意可得：，

解得：x+y=102；

（3）①證明：過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，

Rt△ABH中，BH=，

Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2=4，

解得：x=，

所以，AH=BH=，HC=1，

∴∠A=∠ABH=45°，

∴tan∠HBC=，

∴∠HBC=30°，

∴∠BCH=60°，∠B=75°，

∴452+602=752

∴△ABC是勾股三角形；

②連接CE，

∵∠A=45°，

∴∠BEC=∠BAC=45°，

又∵BE是直徑，

∴∠BCE=90°，

∴BC=CE=2，

過D作DK⊥AB于K，設(shè)KD=h，

∵∠EBC=45°，∠ABC=75°，

∴∠ABE=30°，

∴，AK=h，

∴h+h=，

解得：h=，

∴BD=2KD=2h=，

∴DE=BE﹣BD=

 

考點:1.圓的綜合題；2.勾股定理．