Question

10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，O為AB的中點(diǎn)．將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ°至OP（0＜θ＜180），當(dāng)△BCP恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，θ的值為50°或65°或80°．

Answer 1

分析 如圖1，連接AP，根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到∠APB=90°，當(dāng)BC=BP時(shí)，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×25°=50°，當(dāng)BC=PC時(shí)，如圖2，連接CO并延長交PB于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到θ=2×40°=80°，當(dāng)PB=PC時(shí)，如圖3，連接PO并延長交BC于G，連接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到θ=∠BOG=65°．

解答 解：∵△BCP恰為軸對(duì)稱圖形，
∴△BCP是等腰三角形，
如圖1，連接AP，
∵O為斜邊中點(diǎn)，OP=OA，
∴BO=OP=OA，
∴∠APB=90°，
當(dāng)BC=BP時(shí)，
∴∠BCP=∠BPC，
∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，
∴∠ACP=∠APC，
∴AC=AP，
∴AB垂直平分PC，
∴∠ABP=∠ABC=25°，
∴θ=2×25°=50°，
當(dāng)BC=PC時(shí)，如圖2，連接CO并延長交PB于H，
∵BC=CP，BO=PO，
∴CH垂直平分PB，
∴∠CHB=90°，
∵OB=OC，
∴∠BCH=∠ABC=25°，
∴∠CBH=65°，
∴∠OBH=40°，
∴θ=2×40°=80°，
當(dāng)PB=PC時(shí)，如圖3，
連接PO并延長交BC于G，連接OC，
∵∠ACB=90°，O為斜邊中點(diǎn)，
∴OB=OC，
∴PG垂直平分BC，
∴∠BGO=90°，
∵∠ABC=25°，
∴θ=∠BOG=65°，
綜上所述：當(dāng)△BCP恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，θ的值為50°或65°或80°，
故答案為：50°或65°或80°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)的綜合運(yùn)用，熟練的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．