Question

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑作⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D，E．
（1）求證：MD=ME；
（2）填空：
①若AB=6，當(dāng)AD=2DM時(shí)，DE=2；
②連接OD，OE，當(dāng)∠A的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．
（2）①由DE∥AB，得$\frac{DE}{AB}$=$\frac{MD}{MA}$即可解決問題．
②當(dāng)∠A=60°時(shí)，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，AM=MC，
∴BM=AM=MC，
∴∠A=∠ABM，
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
又∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA，
同理證明：∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME．
（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{MD}{MA}$，
∵AD=2DM，
∴DM：MA=1：3，
∴DE=$\frac{1}{3}$AB=$\frac{1}{3}$×6=2．
故答案為2．
②當(dāng)∠A=60°時(shí)，四邊形ODME是菱形．
理由：連接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四邊形OEMD是菱形．
故答案為60°．

點(diǎn)評 本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，記住菱形的三種判定方法，屬于中考�？碱}型．