Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點D是$\widehat{ABC}$的中點，弦DE⊥AB，垂足為點F，DE交AC于點G，EH為⊙O的切線，交AC的延長線于H，AF=3，F(xiàn)B=$\frac{4}{3}$，則tan∠DEH=（　�。�

• A． $\frac{12}{5}$
• B． $\frac{5}{12}$
• C． $\frac{5}{13}$
• D． $\frac{12}{13}$

Answer 1

分析 連接OE，如圖2，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥EH，則∠OEF+∠DEH=90°，而∠OEF+∠FOE=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠FOE=∠DEH，求出OF、EF，在Rt△OEF中，根據(jù)tan∠DEH=tan∠EOF=$\frac{EF}{OF}$ 計算即可．

解答 解：連接OE，如圖2，
∵EH為⊙O的切線，
∴OE⊥EH，
∴∠OEF+∠DEH=90°，
而∠OEF+∠FOE=90°，
∴∠FOE=∠DEH，
∵AF=3，F(xiàn)B=$\frac{4}{3}$，
∴AB=AF+BF=$\frac{13}{3}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{13}{6}$，
∴OF=OB-FB=$\frac{5}{6}$，
在Rt△OEF中，OE=$\frac{13}{6}$，OF=$\frac{5}{6}$，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{6}）^{2}-（\frac{5}{6}）^{2}}$=2．
∴tan∠DEH=tan∠EOF=$\frac{EF}{OF}$=$\frac{2}{\frac{5}{6}}$=$\frac{12}{5}$．
故選A．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理和解直角三角形．