Question

15．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°．將直角邊足夠長的Rt△EPF的直角頂點P放在線段BC的中點上，以點P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動Rt△EPF并使它的兩直角邊PE，PF分別與AC，AB相交于點N，M，連MN，AP，交于D點，則下列幾組量：
①PM，PN；
②AM，CN；③∠NMA，∠BPM；
④∠B，∠F，
相等的有（　　）

• A． 1組
• B． 2組
• C． 3組
• D． 4組

Answer 1

分析 由條件可證明△APN≌△BPM，可判斷①②；利用等腰三角直角三角形的性質(zhì)結合外角的性質(zhì)可判斷③；利用等腰直角三角形的性質(zhì)可判斷④，可求得答案．

解答 解：
∵△ABC為等腰直角三角形，P這斜邊BC的中點，
∴AP⊥BC，
∴∠CAP=∠B=45°，PA=PB，
∵∠APE與∠BPE均為旋轉(zhuǎn)角，
∴∠APE=∠BPF=α，
在△APN和△BPM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAP=∠B}\\{AP=BP}\\{∠APN=∠BPM}\end{array}\right.$
∴△APN≌△BPM（ASA），
∴PM=PN，即①相等，BM=AN，
∵AB=AC，
∴AM=CN，即②相等，
∵PM=PN，∠EPF=45°，
∴△PMN為等腰直角三角形，
∴∠NMP=∠PNM=45°，
∵∠AMP=∠MPB+∠B，∠NMP=∠B=45°，
∴∠NMP=∠BPM，即③相等，
∵△PEF不一定是等腰直角三角形，
∴∠F是否為45°不確定，
∵∠B=45°，
∴④不一定相等，
∴相等的有3組，
故選C．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵在于找到全等三角形，得到對應的邊角相等．