Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，CE=BC，連接AE，交CD邊于點(diǎn)F，且CF=DF．
（1）求證：AD=BC；
（2）連接BD、DE，若BD⊥DE，求證：四邊形ABCD為菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠D=∠ECF，由ASA證明△ADF≌△ECF，得出AD=CE，即可得出結(jié)論；
（2）首先四邊形ABCD是平行四邊形，由直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)得出CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，即可得出四邊形ABCD是菱形．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECF}\\{DF=CF}\\{∠AFD=∠EFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AD=CE，
∵CE=BC，
∴AD=BC；

（2）證明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE=90°，
∵CE=BC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BE=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、菱形的判定；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．