Question

5．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，連接AC，AE，∠ACB=∠BAE=45°
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若 AB=AD，AC=2$\sqrt{2}$，tan∠ADC=3，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OA、OB，由圓周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，即可得出結(jié)論；
（2）作AF⊥CD于F，證出$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，由圓周角定理得出∠ACB=∠ACD=45°，由三角函數(shù)求出AF=CF=AC•sin∠ACF=2，DF=$\frac{2}{3}$，即可得出CD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OA、OB，如圖1所示：
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切線；
（2）解：作AF⊥CD于F，如圖2所示：
∵AB=AD，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AD}$，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△AFC中，AF=CF=AC•sin∠ACF=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC=$\frac{AF}{DF}$=3，
∴DF=$\frac{2}{3}$，
∴CD=CF+DF=2+$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握切線的判定，由三角函數(shù)求出AF和DF是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．