Question

20．已知△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAC=45°，BD=6，CD=4，
（1）畫出△ABC的外接圓（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留痕跡）
（2）求△ABC的外接圓半徑與AD長．

Answer 1

分析 （1）分別作出邊BC、AC的中垂線，交點(diǎn)為O，以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑畫圓即可得；
（2）作OE⊥AD、OF⊥BC，由圓周角定理得出△BOC為等腰直角三角形且BC=10，從而得OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=5$\sqrt{2}$；根據(jù)垂徑定理可得BF=CF=OF=$\frac{1}{2}$BC=5，證四邊形OEDF是矩形可得DE=OF=5、OE=DF=CF-CD=1，利用勾股定理可求得AE的長，即可得出答案．

解答 解：（1）如圖所示，⊙O即為所求；


（2）過點(diǎn)O作OE⊥AD于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，連接OA、OB、OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∵OB=OC，且BD=6、CD=4，
∴△BOC為等腰直角三角形，且BC=10，
則OB=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=5$\sqrt{2}$，即△ABC外接圓半徑為5$\sqrt{2}$；
∵Rt△BOC中，BC=10，OF⊥BC，
∴BF=CF=OF=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵∠OED=∠OFD=∠EDF=90°，
∴四邊形OEDF是矩形，
∴DE=OF=5，OE=DF=CF-CD=1，
在Rt△OAE中，∵AE=$\sqrt{O{A}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=7，
∴AD=AE+DE=12．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，掌握三角形外接圓的性質(zhì)及圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．