Question

在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=4，BC=6．如圖，當(dāng)點(diǎn)O在AD邊上時(shí)，以O(shè)為圓心OA為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，作OF⊥AE于點(diǎn)F．
（1）∠AOF

 

∠ACB；（填寫“＞”或“＜”或“=”）
（2）設(shè)AB=x，CE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x取最大值時(shí)，以A，E，C，O為頂點(diǎn)的四邊形是哪種特殊的四邊形？請(qǐng)求出x的最大值并證明你的結(jié)論．（請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中完成此問(wèn)）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連結(jié)OE，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由OF⊥AE，OA=OE可得∠AOF=

1

2

∠AOE，再根據(jù)圓周角定理得∠ACE=

1

2

∠AOE，所以∠AOF=∠ACB；
（2）先利用平行線的性質(zhì)得∠BAD=∠B=90°，再利用等角的余角相等得∠AOF=∠BAE，而∠AOF=∠ACB，所以∠BAE=∠ACB，于是可證明△AEB∽△CAB，利用相似比得

x

6

=

6-y

x

，根據(jù)比例性質(zhì)得y=-

1

6

x²+6；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)OC，易得四邊形ABGO為矩形，則OG=x，BG=OA．設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OCG中，OC=r，CG=6-r，OG=x，利用勾股定理得x²+（6-r）²=r²，則r=

1

12

x²+3，由0＜r≤4得0＜x≤2

3

，所以x的最大值是2

3

，當(dāng)x=2

3

時(shí)，r=4，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，如圖3，則CG=2，由于OC=OE，OG⊥BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CG=EG=2，即CE=4，所以O(shè)A=CE，于是可判斷四邊形AECO是平行四邊形，加上CE=4=OC，則可判斷四邊形AECO是菱形．

解答：解：（1）連結(jié)OE，如圖1，
∵OF⊥AE，OA=OE，
∴OF平分∠AOE，
∴∠AOF=

1

2

∠AOE，
∵∠ACE=

1

2

∠AOE，
∴∠AOF=∠ACE，
即∠AOF=∠ACB；
故答案為=；
（2）∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠BAD=∠B=90°，
∴∠BAE+∠FAO=90°．
∵OF⊥AE，
∴∠AFO=90°，
∴∠AOF+∠FAO=90°，
∴∠AOF=∠BAE，
又∵∠AOF=∠ACB，
∴∠BAE=∠ACB，
又∵∠B=∠B，
∴△AEB∽△CAB．
∴

AB

BC

=

BE

AB

，即

x

6

=

6-y

x

，
∴y=-

1

6

x²+6，
（3）四邊形AECO為菱形．
如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)OC，
則四邊形ABGO為矩形，
∴OG=x，BG=OA，
設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△OCG中，OC=r，CG=6-r，OG=x，
∵OG²+CG²=OC²，
∴x²+（6-r）²=r²，
∴r=

1

12

x²+3，
∵0＜r≤4，
∴0＜x≤2

3

，
∴y=-

1

6

x²+6（0＜x≤2

3

），
∴x的最大值是2

3

，
當(dāng)x=2

3

時(shí)，r=4，點(diǎn)O與點(diǎn)D重合，如圖3，
在Rt△OCG中，CG=6-4=2，
∵OC=OE，OG⊥BC，
∴CG=EG=2，
∴CE=4，
∴OA=CE，
又∵OA∥CE，
∴四邊形AECO是平行四邊形，
∵CE=4=OC，
∴四邊形AECO是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)和菱形的判定方法；會(huì)利用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．