Question

已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形ABC，要求在其內(nèi)部作出一個(gè)半圓，直徑在△ABC的邊上，且半圓的弧與△ABC的其他兩邊相切，則該半圓的半徑是

 

（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：分類討論

分析：分兩種情況：①是直徑在斜邊上；②是直徑在腰上分別求解半圓半徑的長即可．

解答：解：①∵半圓的直徑在△ABC的斜邊上，且半圓的弧與△ABC的兩腰相切，切點(diǎn)為D、E，
如圖1，連接OD，OA，

∵AB與⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O為BC的中點(diǎn)，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O為BC的中點(diǎn)，
∴OD=

1

2

AC=2．
②∵半圓的直徑在△ABC的腰上，且半圓的弧與△ABC的斜邊相切，切點(diǎn)為D，
如圖2，連接OD，設(shè)半圓的半徑為r，

∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r²=（4-r）²，解得r=-4+4

2

，r=-4-4

2

（舍去），
故答案為：2或-4+4

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．