Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交AC，AB于點D，E，CE，BD相交于點F，以下四個結(jié)論：①cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結(jié)論一定正確的序號是①③．

Answer 1

分析 ①在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，故正確；
②若BC=BD，需滿足一個條件：∠BCD=∠BDC，且看這兩個角的表達式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠BDA+∠A=60°+∠DBA；聯(lián)立兩式，可得∠DBA=20°；此時∠ABC=40°，而沒有任何條件可以說明∠ABC的度數(shù)是40°，即可得出本選項錯誤．
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，因此F是△ABC的內(nèi)心，可過F作AB、AC的垂線，通過證構(gòu)建的直角三角形全等，得出FE=FD的結(jié)論，因此結(jié)論正確；
④若BF=2DF，則F是△ABC的重心，即三邊中線的交點，而題目給出的條件是F是△ABC的內(nèi)心，顯然兩者的結(jié)論相矛盾，因此不正確．

解答 解：∵BD、CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴點F是△ABC的內(nèi)心，∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCE
=$\frac{1}{2}$（∠CBA+∠BCA）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=60°，即cos∠BFE=$\frac{1}{2}$，故①正確；
∵∠BDC=∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=60°+∠DBA，∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA，
∴若BC=BD成立，則應(yīng)有∠BDC=∠BCA，60°+∠DBA=120°-2∠DBA，即∠DBA=20°，
此時∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據(jù)題意，沒有條件可以說明∠ABC是40°，
故②錯誤；
∵點F是△ABC內(nèi)心，作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△FDW，
∴FD=FE，故③正確；
由于點F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點，故BF=2DF不一定成立，因此④錯誤．
因此本題正確的結(jié)論為①③，
故答案為：①③．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，綜合性強，難度較大．要特別注意的是④中，三角形外心和重心的區(qū)別，不要混淆兩者的概念．