Question

9．如圖所示，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥DE交BC的延長線于點(diǎn)F，DE=DF．求證：矩形ABCD是正方形．

Answer 1

分析 根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A=∠DCB=∠ADC=90°，再利用余角的性質(zhì)證明∠1=∠2，然后可證明△AED≌△CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AD=CD，然后根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可得矩形ABCD是正方形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠DCB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠2，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{∠1=∠2}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴AD=CD，
∴矩形ABCD是正方形．

點(diǎn)評 此題主要考查了正方形的判定，關(guān)鍵是掌握正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．